®Distribución binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

 La distribución binomial se suele representar por B(n, p):

• n es el número de pruebas de que consta el experimento.
• p es la probabilidad de éxito.

La función de probabilidad de la distribución binomial:


n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo:

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?

n = 4

p = 0.8

q = 0.2

B(4, 0.8)

Documentación:

• vitutor.com
• wikipedia.org

®TIPOS DE INTEGRALES( AMPLIACIÓN)

DEFINICIÓN INTEGRAL:

La función primitiva: sean F(x) y f(x) dos funciones continuas y derivables en un intervalo (a,b). Se dice que F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple f'(x) = f(x).

Por ejemplo: F(x) = x^2 es una función primitiva f'(x) = 2x


Si F(x) s una primitiva de f(x), también lo será F(x) + c siendo "c" cualquier número real.

INTEGRAL INDEFINIDAS:

  Al conjunto de todas las primitivas de f(x), se le llama integral indefinida de x, es decir, es el conjunto de infinitas primitivas que puede tener la función.

La fórmula es:  

 

 Se lee : integral de x diferencial de x.

• ∫ es el signo de integración.

• f(x) es el integrado o función a integrar.

• dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

• C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Para comprobar que la primitiva es correcta solo basta con derivar

SUS PROPIEDADES:

• La integral de una suma de funciones es igual a la suma integrales de esas funciones.  

∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de una función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

INTEGRALES INMEDIATAS:

Las integrales inmediatas son las que salen directamente por la propia definición integral, es decir,  la que se puede resolver de forma mas o menos intuitiva pensando en una función que cuando se der¡ve me dé la que está en la integral.

• Constantes: ∫a dx = ax + C

• Potenciales: ∫xⁿ dx = x⁽ⁿ⁺¹⁾ / (n+1) + C

• Compuesta:  ∫f(x)ⁿ f'(x) dx= f(x)ⁿ⁺¹/n+1 + C

INTEGRALES EXPONENCIALES:

Es una función especial definida en el pano complejo e indefinida con el símbolo "Ei"

• ∫e^x dx = e^x+C

• ∫e^f(x)  * f'(x) = e^f(x)+ C

• ∫a^x dx = a^x / ln a +C 

INTEGRALES POR PARTES:

Permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula.

definición: ∫u du = u*v - ∫v dv

Las funciones logarítmicas y polinómicas se eligen como u

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno se eligen como  v' 

TIPOS:

• D(x) *e^x

• Ln x

• P(x) * Ln x

®Derivadas (ampliación)

Aunque una derivada no es un elemento tangible, su valor radica en que, desde el punto de vista científico, se aplica a numerosas investigaciones importantísimas y de las que sus aplicaciones revierten en la propia sociedad. Así, las derivadas son una parte esencial de conocimiento para poder llegar a entender y conocer muchos de los misterios, desde el punto de vista de nuestra realidad como seres humanos y como habitantes de un planeta y de un punto del espacio.

Las derivadas aportan información concreta, directa y científica a los expertos y, con esos resultados, interpretan y son capaces de ofrecer información acerca de nuestra propia existencia y también utilizarlas para aplicarlas en cosas tan habituales como el vuelo de un avión, el movimiento de un coche, la construcción de un edificio, de un contenedor o de muchos otros elementos que para nosotros son normales y que, sin embargo, sin su utilización no serían posibles.

Bibliografía:

Importancia de las derivadas

Vídeo

®Derivadas

Introducción.

Las derivadas son la medida que recoge la rapidez a la que una función crece, es decir, la velocidad a la que su valor cambia. Podemos utilizar, para ayudarnos, unas derivadas básicas que aparecen en la siguiente tabla, suponiendo que "u" es cualquier función de X y "k" cualquier número. 

Desarrollo.

Los problemas de cálculo infinitesimal empezaron a plantearse ya en la antigua Grecia, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta el siglo XVII, de la mano de Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Las derivadas pueden aplicarse a todos aquellos campos donde se desean saber la velocidad con la que cambia una magnitud. Como por ejemplo en física, química, biología o economía. Las derivadas son operaciones centrales de el cálculo infinitesimal junto con los integrales, ambos están relacionados por el problema fundamental del cálculo y están basados en el concepto de límite.

Conclusión.

Las derivadas pueden sernos útiles en diversos campos y la resolución de problemas básicos puede llevarse a cabo fácilmente por medio de la utilización de la tabla anterior.

Documentación.

Wikipedia

Catedu.es

Definicion.de

®Programación lineal

Introducción

La programación lineal 

 Las respuestas a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Desarrollo

1 Elegir las incógnitas.(x,y)

2 Sacar los datos del problema.(plantea en una tabla de datos)

3 Plantea sistema de inecuaciones con los datos dadas.

4  Representando gráficamente las restricciones.

5 Calcular las coordenadas de los vértices .

6 Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).

Páginas Web:
http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_1.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

®Límites

Un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes, se refiere a la cercanía entre un valor y un punto.

®Probabilidad Binomial. (Ampliación)

En estadística, la distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencias de éxito entre ensayos.

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que puede modelizarse por esta distribución:

• Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número de X de tres obtenidos: entonces X - B (10, 1/6).
• Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X- B(2, 1/2).

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías ( a las que se denomina éxito y fracaso).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.

Enlaces:

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial

https://www.youtube.com/watch?v=k_W_A-EqnRA

LOS LÍMITES

Límite es una palabra que proviene del latín limes, que es el genitivo de límites que puede traducirse como borde o frontera de algo. Pero para los matemáticos es una palabra que tiene citado origen en el griego y concretamente en el término mathema .

Una limitación puede ser cualquier tipo de restricción, por ejemplo:

La limitación de velocidad indica la velocidad máxima permitida en ciertos caminos. Si la limitación de velocidad en una carretera provincial es de 90 kilómetros por hora, los conductores no están habilitados para exceder dicha velocidad. Por lo tanto, si lo hacen, pueden ser multados.

Para las matemáticas un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa a tendencia de una función o de una sucesion mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.

Los límites de funciones y operaciones con límites se pueden resolver con indeterminacones cuando x ⇒ ± ∞ las indeterminaciones son: ∞ / ∞ ∞ − ∞ y 1 ∞

Resolver indeterminaciones cuando x ⇒ número finito ,las indeterminaciones son:0 / 0 y k / 0.

®Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (ampliación)

Asíntota Vertical: Es una recta perpendicular al eje de abscisas, de ecuación x = constante.

 

Asíntota Horizontal: Es una recta perpendicular al eje de las ordenadas, de ecuación y = constante.

Asíntota Oblicua: Es una recta que no es paralela o perpendicular a los ejes, de ecuación y = m·x+b.

En el vídeo que hay a continuación podréis ver como se resolvería un ejercicio de asíntotas.


Enlaces:
Imagen 1
Imagen 2
Imagen 3
Vídeo

®Los Límites(Ampliación)

 LÍMITE POR LA DERECHA:

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a+δ, a), entonces |f (x) - L| <ε.ç

LÍMITE POR LA IZQUIERDA:

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a, a+δ), entonces |f (x) - L| <ε.

®Funciones a trozos(ampliación)

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
 -Si coinciden, este es el valor del límite.
-Si no coinciden, el límite no existe.
Antes de continuar se te recuerda que el Dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable independiente, es decir la X (Dom f).
 El Recorrido o Imagen de f es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, la Y (Im f).
 Se ha visto que hay formas diversas de expresar una función: recordemos que una de ellas es mediante una expresión algebraica.
 Se denominan funciones definidas a trozos aquellas que precisan de distintas expresiones algebraicas para su expresión. Ejemplos: 

 Tanto la función f(x) como la función g(x) están definidas por tres expresiones algebraicas, que se corresponden con tres trozos en las gráficas que las representan a la derecha.
 El agujero que se representa en la gráfica quiere decir que la función llega hasta ahí pero que no está definida en ese punto.
Video:

Bibliografía: Funciones a trozos
                     youtube
                   

®Calculo de la matriz inversa.(ampliación)

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Se dice que una matriz cuadra A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que A.B= B.A= I siendo I la matriz idéntica.

Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1. El cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss supone transformar un matriz en otra equivalente por filas. El método consiste en formar una matriz cuadra, es decir, el mismo número de filas y de columnas. Mediante transformaciones elementales de las filas de una matriz, convertir la matriz anterior en otra que tenga en la n primera columna la matriz identidad y en las n últimas otra matriz que precisamente será  A-1. El método consiste, pues, en colocar juntas la matriz a inversa, y la matriz idéntica.

Vídeo:

      

Enlaces:
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Matriz_Inversa.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=TbIE7ncn8Ag

®Derivadas (ampliación)

La derivada representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto. El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz.
La imagen muestra la fórmula para resolver una derivada por la definición:





Bibliografía:
Vídeo
Imagen
Texto

®Método de Gauss(ampliación)

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).
 
Ejemplo: 

3x	+ 2y	+ z	=	1
5x	+ 3y	+ 4z	=	2
x	+ y	− z	=	1

       

Hay tres tipos de soluciones:

-Sistema compatible determinado: tiene una sola solución.

-Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

-Sistema incompatible: no tiene solución.

Vídeo:

Bibliografía: vitutor metodo de gauss

youtube

®Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas(Ampliación)

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente Hay tres tipos de asíntotas:

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: y = k.

La asintotas verticales son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas. Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.

 

Las asíntotas oblicuas son rectas de la ecuación. Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Vídeo que explica los distintos tipos de asíntotas:

Bibliografía:

Asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales

Asíntotas horizontales

Youtube

®Matemáticas: Las matrices (Ampliación)

Se puede definir una matriz como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas. Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero, i, indica la fila a la que pertenece y el segundo, j, la columna.

A continuación hablaremos de la multiplicación de matrices:

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. 

       A_{m x n} x B_{n x p} = C_{m x p}

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. 

Documentación: 

Texto e imágenes: Vitutor: producto de matrices

®Las Derivadas (ampliación).

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. El siguiente vídeo servirá como una explicación más detallada acerca de lo anterior: Bibliografía: Texto e imágenes: Vitutor

®Suma de matrices(Ampliación)

  En esta entrada intentaré explicar cómo efectuar la suma de  matrices,de 2º de bachillerato y fundamental,aunque es bastante fácil. 

   En el ejemplo de arriba podemos entender cómo se hace,tan fácil como sumar cada casilla con la casilla en su lugar en la siguiente matriz y que si está restando,lo haremos igual.

   Ésto hará que consigamos hacer productos y más variantes pero eso lo veremos más adelante. Para quien no lo haya entendido, le dejo un vídeo en el que se explica detalladamente.

   

®Las Derivadas (Ampliación)

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Es interesante porque cada tipo de derivada tiene su fórmula y es necesario combinar varias para poder realizar una derivada compleja.

Derivada-Wikipedia

Los Límites

Un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes, se refiere a la cercanía entre un valor y un punto. En la foto se pueden ver las distintas expresiones de los diferentes tipos de límites. Y la presentación explica más detalladamente los límites matemáticos.

A continuación un vídeo de como realizar un ejercicio de límites:


Distintos tipos de limites
Definición de limite