®Tabla de la distribución normal (0, 1)

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la función de distribución (k).

  (k) = P(z ≤ k)

Búsqueda en la tabla de valor de k

Unidades y décimas en la columna de la izquierda.Centésimas en la fila de arriba.

• P (z ≤ a):              
  •  Ejemplo: P(Z ≤ 1.47) = 0.9292

 

• P(z > a) = 1 - P(z ≤ a)        Ejemplo: P(z> 1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708     
• P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)     Ejemplo:  p(Z > −1.47) = p(Z ≤ 1.47) = 0.9292

                

• P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)                                                                                                   Ejemplo: P( 0.45 <Z ≤ 1.47) = P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) = 0.9292 − 0.6736 = 0.2556        
• P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]                                                                     Ejemplo: P(-1.47 < Z ≤ 0.45) P(Z ≤ 0.45) − [ 1 − P(Z ≤ 1.47)]=0.6736 − (1 − 0.9292) = 0.6028

                                     p = K

Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K.

p = 0.75Z ≤ 0.68

Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.(X - μ)/σ = 0.68X = μ + 0.68 σ

Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

BIBLIOGRAFÍA:
vitutor

®Distribución normal

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N (μ , σ), si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)

2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

Curva de la distribución normal:

• El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
• Es simétrica respecto a la media µ.
• Tiene un máximo en la media µ.
• Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
• En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
• El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva

Ejemplos:

1. p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
2. p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
3. p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Bibliografía:

vitutor.

Video: youtube

®Integral definida y Regla de Barrow:

Integral definida:

La integral definida nos sirve para calcular el área bajo una curva.

La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b] representa el área de la región de plano comprendida entre la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y = 0 y las rectas x = a y x = b.

Ejemplos:

• El área bajo la curva velocidad nos proporciona el espacio total recorrido.
• El área bajo la curva aceleración es la velocidad alcanzada.
• El área bajo la curva de ganancias nos proporciona las ganancias acumuladas.

Regla de Barrow:

La integral definida de una función en el intervalo [a,b] es igual al valor que toma una primitiva en el punto b menos el valor que toma en el punto a.

Utilizaremos los siguientes pasos: 

1. Se halla una primitiva de la función f(x)---F(x)
2. Se calculan los valores F(b) y F(a)
3. La integral buscada es I = F(b) - F(a)

Un ejemplo:

®Matemáticas: posición relativa de las rectas

Cuando nos dan dos rectas pueden darse cuatro casos:

Son coincidenentes: 

Tienen la mismas dirección y un punto común.

Cuando el sistema es compatible: Rango (A)=Rango (A')= 1 < número de incógnitas

Son paralelas: 

Misma dirección y ningún punto en común. 

Cuando el sistema es incompatible: Rango (A)=1; Rango (A')= 2. Cero soluciones

Se cortan:

Distinta dirección y un punto común.

Cuando el sistema es compatible: Rango (A)= Rango (A')=2 = número de incógnitas 

Se cruzan:

Distinta dirección y ningún punto en común.

Cuando el sistema es incompatible: Rango (A)=2; Rango (A')=3. Cero soluciones.

Bibliografía:

• Apuntes de clase

®Continuidad de una función.

Una función es continua cuando la función se encuentra perfectamente definida en los puntos del dominio. También se habla de continuidad cuando la gráfica de una función no se interrumpe o no produce saltos de un punto a otro.
Las funciones polinómicas, exponenciales, racionales, con radicales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de sus dominios.

Continuidad de una función en un punto:

Una función f es continua en un punto x0 en el dominio de la función si  tal que para toda X en el dominio de la función: 

Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera:

Si x0 es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x0 si y sólo si . Cuando x0 no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función es continua en un punto x1 si existe f (x1), si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x1).

Continuidad lateral:

Una función es continua por la izquierda en el punto si el límite lateral por la izquierda y el valor.de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función es continua por la derecha en el punto si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

Continuidad de una función en un intervalo abierto (a,b):

Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado [a,b]:

Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

®Integrales

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Existe tipo de integral en definida e indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.Y dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida:

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

.
























Si u(x) = x, u'(x) = 1, tenemos una tabla de integrales simples:

Integral definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.



La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Se resuelve através de:

•  La teoría de regla de Barrow

• Teorema fundamental del cálculo y de la media

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:




Ejemplo


Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1].

Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.

Bibliografía:

vitutor

inetor